MEKA TRONIKA

2)    1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81,…                    (p.1.b)

3)    a, ar, ar², ar³, …                                 (p.1.c)

Contoh tersebut dapat diterapkan pada kehidupan sehari-hari. Umpamanya, persamaan p.1.a terjadi pada pertumbuhan populasi bakteri di mediumnya setiap 1 jam. Jadi, nilai suku deret merupakan jumlah bakteri setelah 1 jam, 2 jam, …, dan seterusnya. Bola pingpong yang dilepas di atas lantai akan dipantulkan oleh lantai secara lenting sebagian sehingga memenuhi deret pada persamaan p.1.b. Penurunan ketinggian maksimum bola pingpong terjadi terus-menerus, tinggi maksimum hasil pantulan lantai adalah 2/3 dari tinggi maksimum sebelumnya. Jarak yang ditempuh bola itu karena gerak naik-turun dapat ditulis dalam rumusan:

1 + 2( 2/3 ) + 2( 4/9 ) + 2( 8/27 ) + … = 1 + 2[ 2/3 + 4/9 + 8/27 + …]    (p.2)

Mengacu pada pernyataan di atas, persamaan 1.a, b, dan c adalah barisan. Sementara itu, persamaan p.2 adalah deret (series). Artinya, deret adalah hasil jumlah dan/atau selisih suku-suku pada barisan.

Sekarang marilah kita tinjau komponen deret pada persamaan p.2 yang berbentuk deret tak hingga. Sebelumnya, kita harus mengenal dulu dua jenis deret yang ada, yaitu deret tak hingga dan deret terhingga. Deret tak hingga adalah deret hasil jumlah (dan/atau selisih) barisan hingga ke suku tak hingga. Sementara itu, deret terhingga merupakan hasil jumlah (dan/atau selisih) suku-suku barisan hingga suku ke-n, dimana n adalah bilangan terhingga. Komponen deret yang dimaksud berbentuk:

2/3 + 4/9 + 8/27 + ….                     (p.3)

Tampak bahwa suku deret itu menuju ke nilai nol pada suku deret (n) yang besar. Secara umum, jumlah barisan hingga seku ke-n (dilambangkan dengan S_n) dan hingga suku ke-n = ∞  (dilambangkan dengan S) dari geometric p.1.c dirumuskan dalam S = a + ar + ar² + … + arⁿ + …atau

S_n = { a(1-rⁿ) }/{ 1-r }    (p.4)

Melalui pemanfaatan persamaan p.4, deret pada persamaan p.3 sampai dengan suku ke-n adalah:

S_n = 2/3 + 4/9 + (2/3)ⁿ = { 2/3[1-(2/3)ⁿ] }/{ 1-(2/3) } = 2[1-(2/3)ⁿ]             (p.5)

Jelaslah, persamaan p.5 pada deret tak hingga (n = ∞ ) memberikan S bernilai 2. Deret tak hingga (S) lebih mudah dihitung jika dibandingkan dengan deret terbatas, misalnya saja, ketika n = 12. Mengacu pada persamaan p.5 yang merupakan deret terhingga (S_n), nilai deret tak hingga (S) tidak selalu tak hingga (pada contoh di atas,  S = 2).

Deret pada persamaan p.3 disebut deret (biasa disebut juga jumlah barisan) geometric yang memiliki rumus umum berbentuk:

a + ar + ar² + … + ar^n-1 + …                         (p.6)

Jumlah dari semua suku barisan geometric ditulis:

S= limn→∞Sn                        (p.7)

S_n merupakan deret pada penjumlahan barisan sampai dengan suku ke-n atau deret terhingga. Jika |r| < 1, deret pada persamaan p.4 menjadi

S = a / (1 – r)                     (p.8)

Deret ini deisebut deret konvergen karena deret itu memberikan S terhingga, dan disebut deret divergen jika S = +∞  atau -∞ . Kesimpulannya, deret tak hingga (S) yang nilainya terhingga disebut deret konvergen, sedangkan S yang nilainya tak hingga disebut deret divergen.

DAFTAR PUSTAKA

Jati, BME; Priyambodo, T.K., 2011: Matematika untuk ilmu Fisika dan Teknik, edisi 1, Penerbit Andi, Yogyakarta.