Aplikasi Turunan Maksimum dan Minimum

Posted by : Unknown 22 Jan 2013

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :

1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.

2. Anggap bahwa nilai itu ada.

3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana bahwa :

(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;

(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

Teorema A :

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

(i). titik ujung dari I.;

(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f’(c) tidak ada).