Integral

Posted by : Unknown 22 Jan 2013

Masih ingatkah dengan turunan pada materi sebelumnya??

Nah, Integral ini nih merupakan antiturunan (tapi bukan tanjakan lho ya…whehehhehe..)

Integral dinotasikan dengan :

$\int {\color{DarkRed} f(x)} dx={\color{Blue} F(x)}$

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F ‘ (x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral darif(x).

Contoh

F(x) = 3x² akan mempunyai turunan F ’(x) = 6x

ini dapat berarti f(x) = 6x maka integral dari f(x) = 6x adalah F(x) = 3x²

Rumus Integral

$\int {\color{Blue} a}x^{\color{DarkRed} n}\;dx=\frac{{\color{Blue} a}}{{\color{DarkRed} n}+1}\;x^{n+1}+C$ untuk $n\neq -1$

$\int \frac 1x\;dx=ln\;x+C$

Contoh :

$\begin{align*}1.\;\;\int {\color{Blue} 3}x^{\color{Red} 2}dx&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}+1}\;x^{{\color{Red} 2}+1}+C\\&=&x^3\;\;+\;C \end{align*}$

$\begin{align*}2.\;\;\int \sqrt{x}\;dx&=&\int x^{\frac 12}\;dx\\&=&\frac{1}{\frac 12+1}\;x^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac{\;\;1\;\;}{\frac 32}\;x^{\frac 32}+C\\&=&\frac 23\;x\sqrt{x}+C \end{align*}$

$\begin{align*}3.\;\;\int \frac{{\color{Blue} 3}}{x^{\color{Red} 2}}\;dx&=& \int {\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} -2}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} -2}+1}x^{-2+1}\;+C\\&=&\frac{3}{-1}\;x^{-1}+C\\&=&-\frac{3}{x}\;+\;C\end{align*}$

Perhatikan untuk contoh no.2 dan no.3 fungsi f(x) dinyatakan terlebih dulu sebagai fungsi pangkat,yaa…..jangan sampai terlupa !!!

Sifat -sifat :

$\int kf(x)\;dx=k\int f(x)\;dx$

$\int f(x)+g(x)\;dx=\int f(x)\;dx+\int g(x)dx$

$\int f(x)-g(x)\;dx=\int f(x)\;dx-\int g(x)\;dx$

Nah…sekarang langsung ke contoh soal integral dan pembahasannya lagi yuuuuks….

1. Tentukan integral dari $f(x)=5x^4+\frac{2\pi}{3}$ !

Jawab :

$\begin{align*} \int f(x)\;dx&=&\int {\color{Red} 5}x^{\color{Red} 4}+{\color{Blue} \frac{2\pi}{3}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 5}}{{\color{Red} 4}+1}\;x^{{\color{Red} 4}+1}+{\color{Blue} \frac{2\pi}{3}}\;x^{{\color{Red} 0}+1}+C\\&=&x^5+\frac{2\pi}{3}\;x+C\end{align*}$

2. Jika $f(x)=\int 3x^2-2x+6\;dx$ dan f(0)=-6

maka

Jawab :

$\begin{align*}f(x)&=&\int {\color{Blue} 3}x^{\color{Red} 2}-{\color{Blue} 2}x+{\color{Blue} 6}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}+1}\;x^{{\color{Red} 2}+1}-\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} 1}+1}\;x^{{\color{Red} 1}+1}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 0}+1}x^{{\color{Red} 0}+1}+C\\f(x)&=&x^3-x^2+6x+C\end{align*}$

* Nah, karena f(0)=-6

maka kita bisa mencari C

$\begin{align*}f(x)&=&x^3-x^2+6x+C\\f(0)&=&0^3-0^2+6.0+C\\-6&=&C\end{align*}$

* Sehingga f(x)=x^3-x^2+6x+6

3. Tentukan integral dari $f(x)=\frac{6}{x^3}\;-\;\frac{3}{x^2}$ !!!

Jawab :

Ingat …. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!

$\begin{align*}\int f(x)dx&=&\int \frac{{\color{Blue} 6}}{x^{\color{Red} 3}}\;-\;\frac{{\color{Blue} 3}}{x^{\color{Red} 2}}\;dx\\&=&\int {\color{Blue} 6}.x^{{\color{Red} -3}}-{\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} -2}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} -3}+1}\;x^{{\color{Red} -3}+1}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} -2}+1}\;x^{{\color{Red} -2}+1}+C\\&=&-3x^{-2}-(-3)x^{-1}+C\\&=&-\frac{3}{x^2}+\frac 3x+C\end{align*}$

4. Tentukan integral dari $f(x)=2\sqrt x+3x\sqrt x$ !!!!

Jawab :

* Ingat …. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!

$\begin{align*}\int f(x)dx&=&\int 2\sqrt x+3x\sqrt x\;dx\\&=&\int {\color{Blue} 2}.x^{{\color{Red} \frac 12}}+{\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} \frac 32}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} \frac 12}+1}\;x^{{\color{Red} \frac 12}+1}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} \frac 32}+1}\;x^{{\color{Red} \frac 32}+1}+C\\&=&\frac{\;2\;}{\frac 32}x^{\frac 32}+\frac{\;3\;}{\frac 52}x^{\frac 52}+C\\&=&2.\frac 23\;x^{\frac 32}+3.\frac 25\;x^{\frac 52}+C\\&=&\frac 43\;x\sqrt x+\frac 65\;x^2\sqrt x+C \end{align*}$