6 Nov 2012
Contoh Soal :
Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut.
a. (10, –5) c. (–7, –3) e. (–4, 9)
b. (2, 8) d. (6, 1)
Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut.
Jawab :
a. Dari titik (10, –5) diperoleh absis: 10, ordinat: –5
b. Dari titik (2, 8 ) diperoleh absis: 2, ordinat: 8
c. Dari titik (–7, –3) diperoleh absis:–7, ordinat: –3
d. Dari titik (6, 1) diperoleh absis: 6, ordinat: 1
e. Dari titik (–4, 9) diperoleh absis:–4, ordinat: 9
a. (10, –5) c. (–7, –3) e. (–4, 9)
b. (2, 8) d. (6, 1)
Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut.
Jawab :
a. Dari titik (10, –5) diperoleh absis: 10, ordinat: –5
b. Dari titik (2, 8 ) diperoleh absis: 2, ordinat: 8
c. Dari titik (–7, –3) diperoleh absis:–7, ordinat: –3
d. Dari titik (6, 1) diperoleh absis: 6, ordinat: 1
e. Dari titik (–4, 9) diperoleh absis:–4, ordinat: 9
Contoh Soal :
Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.
a. P (–4,–2) c. R (0, –3) e. T (3, 3)
b. Q (–2, 0) d. S (1, –2)
Jawab :
a. P (–4,–2) c. R (0, –3) e. T (3, 3)
b. Q (–2, 0) d. S (1, –2)
Jawab :
Contoh Soal :
1. Tentukan apakah titik-titik berikut membentuk garis lurus atau tidak?
a. A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2) c. G(–2, 1), H(1, 0), I(4, 3)
b. D(2, –2), E(1, –1), F(0, 0) d. J(2, –2), K(3, 0), L(1, 1)
2. Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3).
Jawab :
a. A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2) c. G(–2, 1), H(1, 0), I(4, 3)
b. D(2, –2), E(1, –1), F(0, 0) d. J(2, –2), K(3, 0), L(1, 1)
2. Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3).
Jawab :
2. Garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3) dapat digambar sebagai
berikut.
berikut.
Contoh Soal :
Gambarlah garis dengan persamaan:
a. x + y = 4,
b. x = 2y
Jawab :
a. Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.
Misalkan: x = 0 maka 0 + y = 4 y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 4),
x = 3 maka 3 + y = 4 y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).
a. x + y = 4,
b. x = 2y
Jawab :
a. Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.
Misalkan: x = 0 maka 0 + y = 4 y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 4),
x = 3 maka 3 + y = 4 y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).
Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus seperti berikut.
b. Seperti sebelumnya, tentukan dahulu nilai x atau y yang memenuhi persamaan x = 2y.
Misalkan: x = 0 maka 0 = 2y y = 0, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 0),
x = 4 maka 4 = 2y y = 2, sehingga diperoleh titik koordinat (4, 2)
Kedua titik tersebut dapat digambar menjadi sebuah garis lurus sebagai berikut.
Misalkan: x = 0 maka 0 = 2y y = 0, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 0),
x = 4 maka 4 = 2y y = 2, sehingga diperoleh titik koordinat (4, 2)
Kedua titik tersebut dapat digambar menjadi sebuah garis lurus sebagai berikut.
Contoh Soal :
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. y = 2x d. 2x + 3y = 0
b. y = 3x e. 4x – 6y = 0
c. x = 2y
Jawab :
a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2.
b. Persamaan garis y = –3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = –3.
c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
a. y = 2x d. 2x + 3y = 0
b. y = 3x e. 4x – 6y = 0
c. x = 2y
Jawab :
a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2.
b. Persamaan garis y = –3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = –3.
c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
Persamaan garis y =1/2 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =1/2.
d. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
d. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
Persamaan garis y =–2/3 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =–2/3.
e. Persamaan garis 4x – 6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
e. Persamaan garis 4x – 6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
sehingga
Persamaan garis y = 2/3 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =2/3.
b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. U ntuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal.
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. U ntuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal.
Contoh Soal :
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. y = 4x + 6 d. 3y = 6 + 9x
b. y = –5x – 8 e. 2 + 4y = 3x + 5
c. 2y = x + 12
Jawab :
a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.
b. Persamaan garis y = –5x – 8 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = –5.
c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
a. y = 4x + 6 d. 3y = 6 + 9x
b. y = –5x – 8 e. 2 + 4y = 3x + 5
c. 2y = x + 12
Jawab :
a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.
b. Persamaan garis y = –5x – 8 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = –5.
c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
d. Persamaan garis 3y = 6 + 9x diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
sehingga
e. Persamaan garis 2 + 4y = 3x +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
sehingga
Contoh Soal :
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. x + 2y + 6 = 0 d. 4x + 5y = 9
b. 2x – 3y – 8 = 0 e. 2y – 6x + 1 = 0
c. x + y – 10 = 0
Jawab :
a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
a. x + 2y + 6 = 0 d. 4x + 5y = 9
b. 2x – 3y – 8 = 0 e. 2y – 6x + 1 = 0
c. x + y – 10 = 0
Jawab :
a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
b. Persamaan garis 2x – 3y – 8 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
sehingga
c. Persamaan garis x + y –10 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
x + y –10 = 0
y = –x + 10 Jadi, nilai m = –1.
d. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
sehingga
x + y –10 = 0
y = –x + 10 Jadi, nilai m = –1.
d. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
e. Persamaan garis 2y – 6x + 1 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
sehingga
sehingga
Contoh Soal :
Tentukanlah gradien garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.
a. A(2, 2) dan B(4, 4)
b. C(3, 1) dan D(2, 4)
c. E(–2, –3) dan F(–4, 2)
Jawab :
a. A(2, 2) dan B(4, 4)
b. C(3, 1) dan D(2, 4)
c. E(–2, –3) dan F(–4, 2)
Jawab :
Contoh Soal :
Contoh Soal :
Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki:
a. gradien 2,
b. gradien –3,
c. gradien 1.
Jawab :
a. y = mx maka y = (2)x y = 2x
b. y = mx maka y = (–3)x y = –3x
c. y = mx maka y = (1)x y = x
a. gradien 2,
b. gradien –3,
c. gradien 1.
Jawab :
a. y = mx maka y = (2)x y = 2x
b. y = mx maka y = (–3)x y = –3x
c. y = mx maka y = (1)x y = x
Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2.
Jawab :
Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.
Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:
fi y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = –2 (x – 3)
y – 5 = –2x + 6
y = –2x + 6 + 5
y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0
Jawab :
Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.
Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:
fi y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = –2 (x – 3)
y – 5 = –2x + 6
y = –2x + 6 + 5
y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0
Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui:
a. titik K(–2, –4) dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0,
b. titik R(1, –3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(–1, 2),
c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0.
Jawab :
a. • Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0.
3x + y – 5 = 0
y = –3x + 5
diperoleh m = –3.
• Oleh karena garis h sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0 maka garis h
memiliki gradien yang sama, yaitu m = –3.
Garis h melalui K(–2, –4) maka x1 = –2, y1 = –4.
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut
y – y1 = m (x – x1)
y – (–4) = –3(x – (–2))
y + 4 = –3x – 6
y = –3x – 6 – 4
y = –3x –10
Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0
a. titik K(–2, –4) dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0,
b. titik R(1, –3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(–1, 2),
c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0.
Jawab :
a. • Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0.
3x + y – 5 = 0
y = –3x + 5
diperoleh m = –3.
• Oleh karena garis h sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0 maka garis h
memiliki gradien yang sama, yaitu m = –3.
Garis h melalui K(–2, –4) maka x1 = –2, y1 = –4.
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut
y – y1 = m (x – x1)
y – (–4) = –3(x – (–2))
y + 4 = –3x – 6
y = –3x – 6 – 4
y = –3x –10
Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0
b. • Langkah pertama, tentukan gradien garis yang melalui titik A(4, –1) dan B(–1, 2).
Untuk titik A(4, –1) maka x1 = 4, y1 = –1.
Untuk titik B(–1, 2) maka x2 = –1, y2 = 2.
Untuk titik A(4, –1) maka x1 = 4, y1 = –1.
Untuk titik B(–1, 2) maka x2 = –1, y2 = 2.
• Oleh karena garis h sejajar dengan garis yang melalui titik A dan B
maka garis h yang melalui titik R (1, –3) memiliki gradien yang sama
dengan garis AB yaitu
maka garis h yang melalui titik R (1, –3) memiliki gradien yang sama
dengan garis AB yaitu
Untuk titik R(1, –3) maka x1 = 1, y1 = –3
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus
c. • Langkah pertama, tentukan gradien garis x – 2y + 3 = 0.
• Oleh karena h tegak lurus dengan garis x – 2y + 3 = 0 maka gradien
garis h yang melalui titik L(5, 1) adalah
garis h yang melalui titik L(5, 1) adalah
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis mL = mh = gradien garis h
melalui titik L(5, 1) dengan h melalui gradien m = –2.
Untuk titik L(5, 1) maka x1 = 5, y1 = 1.
melalui titik L(5, 1) dengan h melalui gradien m = –2.
Untuk titik L(5, 1) maka x1 = 5, y1 = 1.
Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.
a. A (3, 3) dan B (2, 1)
b. C (–1, 4) dan D (1, 3)
c. E (6, 10) dan F (–5, 2)
Jawab :
a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.
Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.
Persamaan yang diperoleh:
a. A (3, 3) dan B (2, 1)
b. C (–1, 4) dan D (1, 3)
c. E (6, 10) dan F (–5, 2)
Jawab :
a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.
Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.
Persamaan yang diperoleh:
–1 (y – 3) = –2 (x – 3)
–y + 3 = –2x + 6
2x – y + 3 – 6 = 0
2x – y – 3 = 0
Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.
b. Untuk titik C (–1, 4) maka x1 = –1 dan y1 = 4
Untuk titik D (1, 3) maka x2 = 1 dan y2 = 3
Persamaan garis yang diperoleh:
–y + 3 = –2x + 6
2x – y + 3 – 6 = 0
2x – y – 3 = 0
Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.
b. Untuk titik C (–1, 4) maka x1 = –1 dan y1 = 4
Untuk titik D (1, 3) maka x2 = 1 dan y2 = 3
Persamaan garis yang diperoleh:
Jadi, persamaan garisnya adalah x + 2y – 7 = 0.
c. Untuk titik E (6, 10) maka x1 = 6 dan y1=10
Untuk titik F(–5, 2) maka x2 = –5 dan y2 = 2
Persamaan garis yang diperoleh:
c. Untuk titik E (6, 10) maka x1 = 6 dan y1=10
Untuk titik F(–5, 2) maka x2 = –5 dan y2 = 2
Persamaan garis yang diperoleh:
Contoh Soal :
Contoh Soal :
Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan
garis 2x – 3y = 7.
Jawab :
Ikuti langkah-langkah berikut.
• Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5.
• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.
3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.
• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.
2x – 3y = 7
2x – 3(5 – 3x) = 7
2x – 15 + 9x = 7
2x + 9x = 7 + 15
11x = 22
x = 2
• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.
3x + y = 5
3 (2) + y = 5
6 + y = 5
y = 5 – 6
y = –1
• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)
garis 2x – 3y = 7.
Jawab :
Ikuti langkah-langkah berikut.
• Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5.
• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.
3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.
• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.
2x – 3y = 7
2x – 3(5 – 3x) = 7
2x – 15 + 9x = 7
2x + 9x = 7 + 15
11x = 22
x = 2
• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.
3x + y = 5
3 (2) + y = 5
6 + y = 5
y = 5 – 6
y = –1
• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)
Contoh Soal :
1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam,
mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan
mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga
sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen,
b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari
soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan
kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan
waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam.
Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian
bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan
mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga
sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen,
b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari
soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan
kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan
waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam.
Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian
bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
2. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
• Gunakan pemisahan untuk nama benda.
Misalkan: permen = x
cokelat = y
• Terjemahkan ke dalam model matematika.
2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
• Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200
–7y = –1.400
y = 200
• Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x + 5y = 1.100
x + 5 (200) = 1.100
x + 1.000 = 1.100
x = 1.100 – 1.000
x = 100
Dengan demikian, diperoleh:
a. harga sebuah permen = x = Rp100,00
b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
= 4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
= Rp600,00
• Gunakan pemisahan untuk nama benda.
Misalkan: permen = x
cokelat = y
• Terjemahkan ke dalam model matematika.
2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
• Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200
–7y = –1.400
y = 200
• Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x + 5y = 1.100
x + 5 (200) = 1.100
x + 1.000 = 1.100
x = 1.100 – 1.000
x = 100
Dengan demikian, diperoleh:
a. harga sebuah permen = x = Rp100,00
b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
= 4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
= Rp600,00
Postingan
Posting Komentar